कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

चरण 1

$\sqrt{2 x - x^{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

चरण 4

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 x$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} + 2 x$

चरण 4.2

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

चरण 4.3

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 4.4

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

चरण 4.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

चरण 4.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{1}{- 1}$

चरण 4.4.2.1.3

ऋणात्मक को $\frac{1}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 1$

चरण 4.4.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$d = - 1$

चरण 4.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 4.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

चरण 4.5.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

चरण 4.5.2.1.3

$4$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$e = 0 - - 1$

चरण 4.5.2.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 + 1$

चरण 4.5.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$e = 1$

चरण 4.6

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x - 1)}^{2} + 1$ में प्रतिस्थापित करें.

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u_{1} = x - 1$ . फिर $d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{1} = x - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{1} = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d u_{1} = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

चरण 7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- \sin^{2} (t)$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 7.1.2

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

चरण 7.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

चरण 7.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

चरण 7.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 7.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \cos^{2} (t) d t$

चरण 8

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

चरण 12

मान लीजिए $u_{2} = 2 t$ .फिर $d u_{2} = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

मान लें $u_{2} = 2 t$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 12.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 12.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 12.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 12.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 13

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 14

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 15

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 16

सरल करें.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 17

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 17.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 17.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 17.4

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

चरण 17.5

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

चरण 18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

चरण 18.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

चरण 18.3

$\frac{1}{2}$ और $\arcsin (x - 1)$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

चरण 18.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

चरण 18.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

चरण 19

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

चरण 20

उत्तर फलन $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$