कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{2 x + \cot (x)}{5 + e^{x}}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x + \cot (x)$ और $g (x) = 5 + e^{x}$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 x + \cot (x)] - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + \cot (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 3

$x$ के संबंध में $\cot (x)$ का व्युत्पन्न $- \csc^{2} (x)$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 4.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 5

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) + (- (2 x) - \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 (2 - \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.2.1

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{10 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.1.2.2

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.1.2.3

$2$ को $e^{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 \cdot e^{x} + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.1.2.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.3.2

गुणनखंडों को $10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - e^{x} \cot (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

चरण 6.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - 2 e^{x} x - e^{x} \cot (x) + 2 e^{x} + 10 - 5 \csc^{2} (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$