कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

चरण 1

मान लें $x = f (x)$ , दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

चरण 2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ को $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

चरण 2.2

$\ln (e^{x} x^{3})$ को $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

चरण 2.3

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

चरण 2.4

$3$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (x^{3})$ का प्रसार करें.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

चरण 2.5

$4$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x + 1)}^{4})$ का प्रसार करें.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

चरण 2.6

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

चरण 2.7

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

चरण 3

यह ध्यान में रखते हुए कि $y$ , $x$ का एक फलन है, चेन रूल का उपयोग करके व्यंजक में अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके बायीं ओर $\ln (f (x))$ में अंतर करें.

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

चरण 3.2

दाहिनी ओर अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ को अवकलित करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

चरण 3.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

चरण 3.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

चरण 3.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ से बदलें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

चरण 3.2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

चरण 3.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

चरण 3.2.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \ln (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

चरण 3.2.4

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

चरण 3.2.5

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$3$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

चरण 3.2.5.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \ln (x + 1)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

चरण 3.2.6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

चरण 3.2.6.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

चरण 3.2.6.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

चरण 3.2.7

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

$\frac{1}{x + 1}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.2.7.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.2.7.3

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.2.7.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

चरण 3.2.7.5

एक भिन्न में जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

चरण 3.2.7.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.5.2.1

$\frac{4}{x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

चरण 3.2.7.5.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

चरण 3.2.7.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

चरण 3.2.7.5.4

$1$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

चरण 3.2.8

$\frac{3}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

चरण 3.2.9

$\frac{x + 5}{x + 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

चरण 3.2.10

प्रत्येक व्यंजक को $x (x + 1)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.10.1

$\frac{3}{x}$ को $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

चरण 3.2.10.2

$\frac{x + 5}{x + 1}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

चरण 3.2.10.3

$(x + 1) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

चरण 3.2.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

चरण 3.2.12

$\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ को $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

चरण 3.2.13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

चरण 3.2.13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

चरण 3.2.13.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.13.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.13.4.1.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.4.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.4.2

$3 x$ और $5 x$ जोड़ें.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.13.5.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.5.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.5.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.5.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

चरण 3.2.13.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

चरण 3.2.13.7

$x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.13.7.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

चरण 3.2.13.7.2

$3 \ln (x) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

चरण 3.2.13.7.3

$4 \ln (x + 1) x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

चरण 3.2.13.7.4

$x \cdot x + x (3 \ln (x))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

चरण 3.2.13.7.5

$x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

चरण 3.2.13.8

गुणनखंडों को $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

चरण 4

$x'$ को अलग करें और दाएं पक्ष में $x$ के लिए मूल फलन को प्रतिस्थापित करें.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

चरण 5

दाएं पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (x)$ को सरल करें.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

चरण 5.1.1.2

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $4 \ln (x + 1)$ को सरल करें.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

चरण 5.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

चरण 5.2

$\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ और $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ को मिलाएं.

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

चरण 5.3

गुणनखंडों को $\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ में पुन: क्रमित करें.

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$