कैलकुलस उदाहरण

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

चरण 1

$\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ को $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

चरण 2

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = \ln (x)$ .फिर $d u = \frac{1}{x} d x$ , तो $x d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = \ln (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\ln (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 3.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$\frac{1}{x}$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \ln (4)$

चरण 3.3

$x$ के लिए $u = \ln (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \ln (8)$

चरण 3.4

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

चरण 3.5

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

चरण 5

$\ln (8)$ पर और $\ln (4)$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\ln (8)$ लगभग $2.07944154$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

चरण 7.2

$\ln (4)$ लगभग $1.38629436$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

चरण 7.3

$\ln (8)$ को $\ln (2^{3})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

चरण 7.4

$3$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{3})$ का प्रसार करें.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

चरण 7.5

$\ln (4)$ को $\ln (2^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

चरण 7.6

$2$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{2})$ का प्रसार करें.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

चरण 7.7

$\ln (2)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

चरण 7.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

दशमलव रूप:

$0.20273255 \dots$