कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x - 2}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

चरण 1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x - 2$ है.

$4 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$4 \frac{(x - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 11

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 12

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 12.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 12.3

$4$ और $\frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 ((x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.1

$x$ और $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.3

$2$ और $\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.5.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.5.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + 1} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.5.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.5.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.5.5

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.6.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.7

$- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.8

$4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1.8.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.8.2

$- 4$ और $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.1.10

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.3.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $4 x^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1.1

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.1.2

$- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.1.3

$- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.3

$- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.3.2

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.4

$x^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.6.1

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.6.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.6.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.6.1.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{2}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.6.1.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 \frac{x^{1} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.4.6.2

$x^{1}$ को सरल करें.

$\frac{- 2 \frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.5

$- 2$ और $\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{- 2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.7

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

चरण 13.8

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ को $\frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 13.9

गुणनखंडों को $- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{2}}$