कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{5} \sqrt{2 x^{6} + 3} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x^{6} + 3$ .फिर $d u = 12 x^{5} d x$ , तो $\frac{1}{12} d u = x^{5} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x^{6} + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 x^{6} + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x^{6} + 3]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x^{6} + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{6}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.3.3

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 x^{5} + 0$

चरण 1.1.4.2

$12 x^{5}$ और $0$ जोड़ें.

$12 x^{5}$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{12}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{12}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{12}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{12} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

$\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ को $\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6.2

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ को $\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x^{6} + 3$ से बदलें.

$\frac{1}{18} {(2 x^{6} + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$