कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

चरण 2

$4 x^{2}$ और $9$ को पुन: क्रमित करें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

चरण 3

$9 + 4 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$9$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

चरण 3.2

$4 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

चरण 3.3

$4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

चरण 5

$\frac{9}{4}$ को ${(\frac{3}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ है.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{3}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

चरण 7.1.2

$\frac{2}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

चरण 7.1.3

$\frac{3}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

चरण 7.1.4

$x$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

चरण 7.1.5

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

चरण 7.1.6

$\frac{2}{3}$ और $\arctan (\frac{2 x}{3})$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

चरण 7.1.7

$\frac{1}{4}$ और $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

चरण 7.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$t$ पर और $0$ पर $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

चरण 7.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

चरण 7.2.2.2

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

चरण 7.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

चरण 7.2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

चरण 7.2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

चरण 7.2.2.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

चरण 7.2.2.3

$\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

चरण 7.2.2.4

जोड़ना.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.6

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.7

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.8

$- 3$ और $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.9

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.10

$- 6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.10.1

$- 6 \arctan (0)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.10.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.10.2.4

$- 2 \arctan (0)$ को $1$ से विभाजित करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

चरण 7.2.2.11

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

चरण 7.2.2.12

$2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.12.1

$2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

चरण 7.2.2.12.2

$- 2 \arctan (0)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

चरण 7.2.2.12.3

$2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

चरण 7.2.2.12.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.12.4.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

चरण 7.2.2.12.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

चरण 7.2.2.12.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{6}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

चरण 8.2

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

चरण 8.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

चरण 8.4

$t$ को $\frac{2 t}{3}$ से प्रतिस्थापित करें और चूँकि $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ मान लें $t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

चरण 8.5

$t$ जब $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, लिमिट का मान $\frac{π}{2}$ होता है.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

चरण 8.6

$\arctan (0)$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

चरण 8.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.1.1

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

चरण 8.7.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

चरण 8.7.2

$\frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

चरण 8.7.3

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.7.3.1

$\frac{1}{6}$ को $\frac{π}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

चरण 8.7.3.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{12}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{12}$

दशमलव रूप:

$0.26179938 \dots$