कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 4 x e^{2 x} d x$

चरण 3

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int x e^{2 x} d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 5.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 5.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

चरण 7

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 7.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 7.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

चरण 8

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 10.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

चरण 11

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

चरण 12

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ को $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 14.1.2

$\frac{x}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 14.1.3

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 14.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 14.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 14.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 14.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

चरण 14.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

चरण 14.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

चरण 15

उत्तर फलन $f (x) = 4 x e^{2 x}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$