कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (1 - x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

चरण 2

$x$ और $\frac{1}{1 - x}$ को मिलाएं.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 4.1.2

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

चरण 4.2

$1$ और $- x$ को पुन: क्रमित करें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

चरण 5

$x$ को $- x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$0$

चरण 5.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $- x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

चरण 5.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u = - x + 1$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = - x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1}$

चरण 8.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 8.2

$x$ के लिए $u = - x + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = - 0 + 1$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 8.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 8.4

$x$ के लिए $u = - x + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = - 1 + 1$

चरण 8.5.2

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 0$

चरण 8.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

चरण 8.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

चरण 9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

चरण 11

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

चरण 12

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ और $- x]_{0}^{1}$ को मिलाएं.

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

चरण 13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$1$ पर और $0$ पर $\ln (1 - x) x - x$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

चरण 13.2

$0$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 13.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 13.3.2

$1$ में से $1$ घटाएं.

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 13.3.3

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 13.4

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 14

शून्य का प्राकृतिक लघुगणक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित