कैलकुलस उदाहरण

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

चरण 1

$6 x - x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$6 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

चरण 1.2

$- x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

चरण 1.3

$x \cdot 6 + x (- x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

चरण 2

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot 6 + x (- x)$

चरण 2.1.2

$6$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \cdot x + x (- x)$

चरण 2.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$6 \cdot x - x \cdot x$

चरण 2.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$6 x - (x \cdot x)$

चरण 2.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$6 x - x^{2}$

चरण 2.1.5

$6 x$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} + 6 x$

चरण 2.2

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

चरण 2.3

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 2.4

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

चरण 2.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

चरण 2.4.2.1.2

ऋणात्मक को $\frac{3}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 3$

चरण 2.4.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$d = - 3$

चरण 2.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 2.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

चरण 2.5.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

चरण 2.5.2.1.3

$36$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$e = 0 - - 9$

चरण 2.5.2.1.4

$- 1$ को $- 9$ से गुणा करें.

$e = 0 + 9$

चरण 2.5.2.2

$0$ और $9$ जोड़ें.

$e = 9$

चरण 2.6

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x - 3)}^{2} + 9$ में प्रतिस्थापित करें.

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = x - 3$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = x - 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 3.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = x - 3$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 - 3$

चरण 3.3

$3$ में से $3$ घटाएं.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = x - 3$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 6 - 3$

चरण 3.5

$6$ में से $3$ घटाएं.

$u_{upper} = 3$

चरण 3.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

चरण 3.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

चरण 4.2

$- u^{2}$ और $3^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

चरण 5

$\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ बटे $u$ का समाकलन $\arcsin (\frac{u}{3})$ है

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3$ पर और $0$ पर $\arcsin (\frac{u}{3})$ का मान ज्ञात करें.

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

चरण 6.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

चरण 6.2.2

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

चरण 6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

चरण 6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

चरण 6.2.2.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\arcsin (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

चरण 7.1.2

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{π}{2} - 0$

चरण 7.1.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} + 0$

चरण 7.2

$\frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{2}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{π}{2}$

दशमलव रूप:

$1.57079632 \dots$

चरण 9