कैलकुलस उदाहरण

$\int \cos^{2} (2 - 5 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 - 5 x$ .फिर $d u_{1} = - 5 d x$ , तो $- \frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 2 - 5 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 - 5 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - 5 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 5 \cdot 1$

चरण 1.1.3.3

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 5$

चरण 1.1.4

$0$ में से $5$ घटाएं.

$- 5$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{- 5} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (- \frac{1}{5}) d u_{1}$

चरण 2.2

$\cos^{2} (u_{1})$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\int - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 5

$\cos^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$- \frac{1}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 7.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- \frac{1}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

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चरण 10.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 11

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 13

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 14

सरल करें.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

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चरण 15.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 - 5 x$ से बदलें.

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 15.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

चरण 15.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 - 5 x$ से बदलें.

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 - 5 x))) + C$