कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x^{2} - 1)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 1$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

चरण 1.2.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} - 1} (2 x)$

चरण 1.2.4.2

$2$ और $\frac{1}{x^{2} - 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{x^{2} - 1} x$

चरण 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} - 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1}$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} - 1$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.3.2

$x^{2} - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.3.4

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.8

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

चरण 2.9

$2$ और $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.10.2.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 2.10.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 2}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{2 x}{x^{2} - 1} = 0$

चरण 4

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 5

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6