कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

चरण 1

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

चरण 2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

चरण 2.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

चरण 2.3

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

चरण 2.4

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

चरण 2.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

चरण 2.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , तो $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 3.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 3.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 3.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 3.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 3.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 3.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

चरण 3.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.1.8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $u_{1}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

चरण 5

$2$ को $8$ से गुणा करें.

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

$\sin^{2} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (u_{1})$ को $1 - \cos^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

चरण 8

मान लीजिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u_{2} = \cos (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\cos (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

चरण 8.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1})$

चरण 8.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{3}$ को मिलाएं.

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

चरण 12.2

सरल करें.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

चरण 13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (u_{1})$ से बदलें.

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

चरण 13.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{1}{3}$ और $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ को मिलाएं.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

चरण 14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

चरण 14.3

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

चरण 14.4

$16$ और $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ को मिलाएं.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$