कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .फिर $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , तो $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . $\frac{d u_{1}}{d r}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

चरण 1.1.2

${(2 r - 1)}^{2}$ को $(2 r - 1) (2 r - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

चरण 1.1.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 r - 1) (2 r - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

चरण 1.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

चरण 1.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

चरण 1.1.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

चरण 1.1.4.1.2

घातांक जोड़कर $r$ को $r$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.2.1

$r$ ले जाएं.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

चरण 1.1.4.1.2.2

$r$ को $r$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

चरण 1.1.4.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

चरण 1.1.4.1.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

चरण 1.1.4.1.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

चरण 1.1.4.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

चरण 1.1.4.2

$- 2 r$ में से $2 r$ घटाएं.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

चरण 1.1.5

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ है.

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

चूंकि $3$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ है.

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.2

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $4 r^{2} - 4 r + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ है.

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.3

चूंकि $4$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $4 r^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ है.

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.5

चूंकि $- 4$ , $r$ के संबंध में स्थिर है, $r$ के संबंध में $- 4 r$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ है.

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.7

चूंकि $r$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $r$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.8

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.9

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.6.10

$8 r - 4$ और $0$ जोड़ें.

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

चरण 1.1.7

चूंकि $r$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $r$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (8 r - 4) + 0$

चरण 1.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

चरण 1.1.8.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.8.2.1

$8$ को $3$ से गुणा करें.

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

चरण 1.1.8.2.2

$3$ को $- 4$ से गुणा करें.

$24 r - 12 + 0$

चरण 1.1.8.2.3

$24 r - 12$ और $0$ जोड़ें.

$24 r - 12$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ को $\frac{1}{12}$ से गुणा करें.

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

चरण 2.2

$12$ को $\sqrt{u_{1}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{12}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{12}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

चरण 4.2

$\sqrt{u_{1}}$ को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

चरण 4.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

चरण 4.4

घातांक को ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

चरण 4.4.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

चरण 4.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

चरण 5

मान लीजिए $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , तो $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 5.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

चरण 5.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

चरण 5.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 5.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

चरण 5.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

चरण 5.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

चरण 5.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

चरण 5.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.8.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.1.8.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $2$ बटे $u_{2}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2$ और $\frac{1}{12}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2

$2$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$12$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

चरण 8

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

चरण 9

सरल करें.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

चरण 10

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

चरण 10.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ से बदलें.

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$