कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

चरण 1

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

चरण 4

मान लीजिए $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $\tan (t)$ को मिलाएं.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\tan (t)}{2}$ पर लागू करें.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.1.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.1.1.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.1.2

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.1.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.1.4

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\sec (t)$ और $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.2.2

घातांक जोड़कर $\sec (t)$ को $\sec^{2} (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$\sec (t)$ को $\sec^{2} (t)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

चरण 5.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

चरण 5.2.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

चरण 7

$\sec^{3} (t)$ में से $\sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

चरण 8

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sec (t)$ और $d v = \sec^{2} (t)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

चरण 9

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

चरण 10

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

चरण 11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

चरण 12.2

$\tan^{2} (t)$ और $\sec (t)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

चरण 13

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

चरण 14

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

एक गुणनफल के रूप में घातांक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 14.3

$\sec (t)$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

चरण 15

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

चरण 16

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

चरण 17

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

चरण 18

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

चरण 19

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

चरण 20

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

चरण 21

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

चरण 22

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 23

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 24

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

चरण 25

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 25.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

चरण 26

$\int \sec^{3} (t) d t$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

चरण 27

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

चरण 28

सरल करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 29

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 29.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 29.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

चरण 30

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arctan (2 x)$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, 2 x)$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\sec (\arctan (2 x))$ $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ है.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.2

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.4

स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के फलन व्युत्क्रम होते हैं.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.6.2

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.6.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

चरण 31.1.6.4

स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा के फलन व्युत्क्रम होते हैं.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

चरण 31.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

चरण 31.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

चरण 31.3.2

$2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

चरण 31.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

चरण 31.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

चरण 31.4

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

चरण 31.5

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

चरण 31.6

$\frac{1}{4}$ और $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

चरण 31.7

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

चरण 31.8

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.8.1

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

चरण 31.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

चरण 31.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

चरण 31.10

$2$ को $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

चरण 32

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

चरण 33

उत्तर फलन $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$