कैलकुलस उदाहरण

${(x y)}^{x} = e$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सामान्यीकृत घात नियम का उपयोग करके अंतर करें जिसमें कहा गया है कि $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ है जहां $f = x y$ और $g = x$ हैं.

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = x$ और $g (y) = y$ है.

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

चरण 2.3.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

चरण 2.4

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

चरण 2.5

$\frac{d}{d y} [x]$ को $x'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

उत्पाद नियम को $x y$ पर लागू करें.

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6.2

उत्पाद नियम को $x y$ पर लागू करें.

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.4.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

चरण 2.6.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

चरण 3

चूंकि $y$ के संबंध में $e$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $e$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5

$x'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.2

घातांक जोड़कर $x^{x - 1}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.2.3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.3

घातांक जोड़कर $x^{x - 1}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.3.2

$x$ को $x^{x - 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.3.3

$1 + x - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.3.3.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.3.3.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.4

घातांक जोड़कर $y^{x - 1}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.4.1

$y$ ले जाएं.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.4.2

$y$ को $y^{x - 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.4.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.4.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.4.3

$1 + x - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.4.3.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.1.4.3.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

चरण 5.1.2

गुणनखंडों को $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ में पुन: क्रमित करें.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{x + 1} y^{x - 1}$ घटाएं.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

चरण 5.3

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ में से $x' x^{x} y^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x' x^{x} y^{x}$ में से $x' x^{x} y^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

चरण 5.3.2

$x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ में से $x' x^{x} y^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

चरण 5.3.3

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ में से $x' x^{x} y^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

चरण 5.4

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ के प्रत्येक पद को $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ के प्रत्येक पद को $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ से विभाजित करें.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$x^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.2.2

$y^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.2.3

$1 + \ln (x y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.2.3.2

$x'$ को $1$ से विभाजित करें.

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$x^{x + 1}$ और $x^{x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.1

$- x^{x + 1} y^{x - 1}$ में से $x^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1.2.1

$x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ में से $x^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

चरण 5.4.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

चरण 5.4.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.3.2

$y^{x - 1}$ और $y^{x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1

$- x y^{x - 1}$ में से $y^{x}$ का गुणनखंड करें.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

चरण 5.4.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

चरण 5.4.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $y^{- 1}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

चरण 5.4.3.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

चरण 5.4.3.3.3

गुणनखंडों को $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ में पुन: क्रमित करें.

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

चरण 6

$x'$ को $\frac{d x}{d y}$ से बदलें.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$