कैलकुलस उदाहरण

$\ln (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

चरण 1

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d y} [\ln ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = \ln (y)$ और $g (y) = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ और $g (y) = x^{2} + y^{2}$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 9

$\frac{1}{2}$ और ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 11

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 12

घातांक जोड़कर ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

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चरण 12.1

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 12.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 12.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 12.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 13

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 14

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 15

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

चरण 16

$0$ और $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 17

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})} (2 y)$

चरण 18

पदों को सरल करें.

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चरण 18.1

$2$ और $\frac{1}{2 (x^{2} + y^{2})}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})} y$

चरण 18.2

$\frac{2}{2 (x^{2} + y^{2})}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

चरण 18.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 18.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2 (x^{2} + y^{2})}$

चरण 18.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$