कैलकुलस उदाहरण

$- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$

चरण 1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- (x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$ है.

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) \sin (\frac{x^{2}}{2})]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = \sin (\frac{x^{2}}{2})$ है.

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x^{2}}{2})] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x^{2}}{2}$ के रूप में सेट करें.

$- ((x + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$- ((x + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x^{2}}{2}$ से बदलें.

$- ((x + 1) (\cos (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- ((x + 1) \cos (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.2

$\frac{1}{2}$ और $\cos (\frac{x^{2}}{2})$ को मिलाएं.

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- ((x + 1) \frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} (2 x) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.4

पदों को सरल करें.

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चरण 4.4.1

$2$ और $\frac{\cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ को मिलाएं.

$- ((x + 1) \frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2} x + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.4.2

$x$ और $\frac{2 \cos (\frac{x^{2}}{2})}{2}$ को मिलाएं.

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 4.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- ((x + 1) \frac{x (2 \cos (\frac{x^{2}}{2}))}{2} + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.4.3.2

$x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))$ को $1$ से विभाजित करें.

$- ((x + 1) (x (\cos (\frac{x^{2}}{2}))) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 4.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 4.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) (1 + 0))$

चरण 4.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 4.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}) \cdot 1)$

चरण 4.8.2

$\sin (\frac{x^{2}}{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$- ((x + 1) x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- ((x \cdot x + 1 x) \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + 1 x \cos (\frac{x^{2}}{2}) + \sin (\frac{x^{2}}{2}))$

चरण 5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (x \cdot x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

चरण 5.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (x^{1} x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

चरण 5.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- (x^{1} x^{1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

चरण 5.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- (x^{1 + 1} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

चरण 5.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- (x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2})) - (1 x \cos (\frac{x^{2}}{2})) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$

चरण 5.4.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$- x^{2} \cos (\frac{x^{2}}{2}) - x \cos (\frac{x^{2}}{2}) - \sin (\frac{x^{2}}{2})$