कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (2 x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ और $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

चरण 4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 4 x^{2} + 1$ .फिर $d u = 8 x d x$ , तो $\frac{1}{8} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 4 x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$4 x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 x + 0$

चरण 5.1.4.2

$8 x$ और $0$ जोड़ें.

$8 x$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = 4 x^{2} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

चरण 5.3.1.2

$4$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 5.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = 4 x^{2} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

चरण 5.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

चरण 5.5.1.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 4 + 1$

चरण 5.5.2

$4$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 5$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

चरण 6.2

$8$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{8}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2

$- 2$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

चरण 8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$1$ पर और $0$ पर $\arctan (2 x) x$ का मान ज्ञात करें.

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

चरण 10.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$5$ पर और $1$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 10.2.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 10.2.2.2

$\arctan (2)$ को $1$ से गुणा करें.

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 10.2.2.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 10.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 10.2.3.2

$0$ को $\arctan (0)$ से गुणा करें.

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 10.2.4

$\arctan (2)$ और $0$ जोड़ें.

$\arctan (2) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

चरण 10.3.2

$\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

चरण 10.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $5$ के बीच की दूरी $5$ है.

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

चरण 10.4.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

चरण 10.4.3

$5$ को $1$ से विभाजित करें.

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

दशमलव रूप:

$0.70478923 \dots$