कैलकुलस उदाहरण

${(x^{2} + 1)}^{2 x}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(x^{2} + 1)}^{2 x}$ को $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})}]$

चरण 1.2

$2 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2 x})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x \ln (x^{2} + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2 x \ln (x^{2} + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x \ln (x^{2} + 1)$ से बदलें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2 x \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \ln (x^{2} + 1)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)]$ है.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1)])$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ है.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (x (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{x}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.5.2

$2$ और $\frac{x}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 6.5.3

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x \cdot x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))$

चरण 12

$\ln (x^{2} + 1)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1)))$

चरण 13

$\ln (x^{2} + 1)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}))$

चरण 14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 \frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

चरण 15

$2$ और $\frac{2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 16

$e^{2 x \ln (x^{2} + 1)}$ और $\frac{2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

चरण 17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{2 x \ln (x^{2} + 1)} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x^{2} + 1)$ को सरल करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (2 (2 x^{2}) + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.2.3

$\ln (x^{2} + 1)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.2.5

$2 (\ln (x^{2} + 1) x^{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.5.1

$\ln (x^{2} + 1)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + 2 \cdot \ln (x^{2} + 1) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.2.5.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \cdot \ln (x^{2} + 1)$ को सरल करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + 2 \ln (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.2.6

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (x^{2} + 1)$ को सरल करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2} + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}))}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (4 x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

चरण 17.2.5

गुणनखंडों को $4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) x^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{4 x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} + x^{2} e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

चरण 17.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{4 e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} x^{2} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + e^{x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})} \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$