कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 4

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{5}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 5.2

घातांक को ${(x^{5})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 5.2.2

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 5}$ का समाकलन $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ है.

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x^{- 4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 7.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 4}$ को भाजक में ले जाएँ.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

चरण 9

मान लीजिए $u = 1 - 2 x$ .फिर $d u = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 1 - 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$1 - 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

चरण 9.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 9.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 9.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 9.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 - 2 \cdot 1$

चरण 9.1.3.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 2$

चरण 9.1.4

$0$ में से $2$ घटाएं.

$- 2$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 10.2

$u^{3}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

चरण 11

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

चरण 12.2

$\int \frac{u^{3}}{2} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

चरण 13

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

चरण 14

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

सरल करें.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

चरण 15.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

चरण 15.2.2

$\frac{1}{4}$ और $u^{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

चरण 15.2.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{u^{4}}{4}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

चरण 15.2.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

चरण 16

$u$ की सभी घटनाओं को $1 - 2 x$ से बदलें.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

चरण 18

उत्तर फलन $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$