कैलकुलस उदाहरण

$\int {(2 x - 3)}^{3} x d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x - 3$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = 2 x - 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$2 x - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u^{3} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$\frac{1}{2}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{u^{3}}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) d u$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

चरण 3.2

$\frac{u^{3}}{2}$ को $\frac{u}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{3} u}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

चरण 3.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{u^{3} u^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

चरण 3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{u^{3 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

चरण 3.5

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{u^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

चरण 3.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} d u$

चरण 3.7

$\frac{u^{3}}{2}$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{2 \cdot 2} d u$

चरण 3.8

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{u^{3} \cdot 3}{4} d u$

चरण 4

$3$ को $u^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{u^{4}}{4} + \frac{3 u^{3}}{4} d u$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{u^{4}}{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int u^{4} d u + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int \frac{3 u^{3}}{4} d u$

चरण 8

चूँकि $\frac{3}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{3}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} \int u^{3} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} u^{4}$ है.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

चरण 10

सरल करें.

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चरण 10.1

सरल करें.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

चरण 10.2

सरल करें.

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चरण 10.2.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 \cdot 5} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

चरण 10.2.2

$4$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

चरण 10.2.3

$\frac{3}{4}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{4 \cdot 4} u^{4} + C$

चरण 10.2.4

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{20} u^{5} + \frac{3}{16} u^{4} + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - 3$ से बदलें.

$\frac{1}{20} {(2 x - 3)}^{5} + \frac{3}{16} {(2 x - 3)}^{4} + C$