कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $\frac{1}{27}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{27} \cdot {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$ है.

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ और $g (x) = 9 x^{2} + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $9 x^{2} + 6$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{3}{2}$ है.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $9 x^{2} + 6$ से बदलें.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 3.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.6.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{27} (\frac{3}{2} {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.7

$\frac{3}{2}$ और ${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{27} (\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6])$

चरण 3.8

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ को $\frac{1}{27}$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 27} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

चरण 3.9

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

चरण 3.10

$3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 ({(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}{54} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

चरण 3.11

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.11.1

$54$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

चरण 3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

चरण 3.11.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 6]$

चरण 3.12

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x^{2} + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.13

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x^{2}$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.14

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.15

$2$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 3.16

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x + 0)$

चरण 3.17

पदों को सरल करें.

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चरण 3.17.1

$18 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} (18 x)$

चरण 3.17.2

$18$ और $\frac{{(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ को मिलाएं.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18} x$

चरण 3.17.3

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}{18}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

चरण 3.17.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{18 {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x}{18}$

चरण 3.17.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.17.5.1

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ को $1$ से विभाजित करें.

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$

चरण 3.17.5.2

${(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = x {(9 x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$