कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x}{x + y}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x + y})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x + y$ है.

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x + y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.2.2

$x + y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + y - x \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{x + y - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.2.4

$\frac{x + y - x (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x + y - x (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x + y - x \cdot 1 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + y - x - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.2.2

$x + y - x - x y'$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{y + 0 - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.2.2.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{y - x y'}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.4

$- x y'$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x y') + y}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.5

$y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.6

$- (x y') - 1 (- y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.7

$- (x y' - y)$ को $- 1 (x y' - y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 3.4.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दोनों पक्षों को ${(x + y)}^{2}$ से गुणा करें.

$y' {(x + y)}^{2} = - \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

${(x + y)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$- \frac{x y' - y}{{(x + y)}^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' {(x + y)}^{2} = \frac{- (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

चरण 5.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y' - y)$

चरण 5.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' {(x + y)}^{2} = - (x y') - - y$

चरण 5.2.1.3

$- - y$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + 1 y$

चरण 5.2.1.3.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y' {(x + y)}^{2} = - x y' + y$

चरण 5.2.1.4

$x$ ले जाएं.

$y' {(x + y)}^{2} = - 1 y' x + y$

चरण 5.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 1 y'$ को $- y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' {(x + y)}^{2} = - y' x + y$

चरण 5.3.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y' x$ जोड़ें.

$y' {(x + y)}^{2} + y' x = y$

चरण 5.3.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

${(x + y)}^{2}$ को $(x + y) (x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' ((x + y) (x + y)) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + y) (x + y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x (x + y) + y (x + y)) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.3.1.2

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.3.2

$x y$ और $y x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.3.2.1

$y$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.3.2.2

$x y$ और $x y$ जोड़ें.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.2.2.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x = y$

चरण 5.3.3

$y' x^{2} + 2 y' x y + y' y^{2} + y' x$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$y' x^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + 2 y' x y + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.3.2

$2 y' x y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.3.3

$y' y^{2}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.3.4

$y' x$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2}) + y' (2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.3.5

$y' (x^{2}) + y' (2 x y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.3.6

$y' (x^{2} + 2 x y) + y' (y^{2})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x) = y$

चरण 5.3.3.7

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + y' (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$

चरण 5.3.4

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x) = y$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

चरण 5.3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1

$x^{2} + 2 x y + y^{2} + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x^{2} + 2 x y + y^{2} + x)}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

चरण 5.3.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x}$