कैलकुलस उदाहरण

$\ln (x^{2} (x + 1))$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} (x + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} (x + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} (x + 1)$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 1)]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x + 1$ है.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.4.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + (x + 1) (2 x))$

चरण 3.6

$2$ को $x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{x^{2} (x + 1)} (x^{2} + 2 \cdot (x + 1) x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 (x + 1) x)$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 1) x)$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.1.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2} \cdot 1} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

चरण 4.4.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (x^{2} + 2 x^{2} + 2 x)$

चरण 4.4.8

$x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$

चरण 4.5

$\frac{1}{x^{3} + x^{2}} (3 x^{2} + 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{3} + x^{2}}$

चरण 4.6

$x^{3} + x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$x^{3}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2}}$

चरण 4.6.2

$1$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot 1}$

चरण 4.6.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$(3 x^{2} + 2 x) \frac{1}{x^{2} (x + 1)}$

चरण 4.7

$3 x^{2} + 2 x$ को $\frac{1}{x^{2} (x + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

चरण 4.8

$3 x^{2} + 2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$3 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x) + 2 x}{x^{2} (x + 1)}$

चरण 4.8.2

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x^{2} (x + 1)}$

चरण 4.8.3

$x (3 x) + x \cdot 2$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x + 2)}{x^{2} (x + 1)}$

चरण 4.9

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$x^{2} (x + 1)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

चरण 4.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (3 x + 2)}{x (x (x + 1))}$

चरण 4.9.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 x + 2}{x (x + 1)}$