कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}})$

चरण 1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}]$ को $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$ के रूप में फिर से लिखें.

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चरण 1.1

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2} (x^{2} + y^{2})}]$

चरण 1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) \sqrt{x^{2} + y^{2}})]$

चरण 2

$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ((x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 3

घातांक जोड़कर $x^{2} + y^{2}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

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चरण 3.1

$x^{2} + y^{2}$ को ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

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चरण 3.1.1

$x^{2} + y^{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

चरण 3.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}]$

चरण 3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

चरण 3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

चरण 3.4

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

चरण 4

चूंकि $\frac{1}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{3} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$ है.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ और $g (x) = x^{2} + y^{2}$ है.

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चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{3}{2}$ है.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 9.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 10

$\frac{3}{2}$ और ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

चरण 11

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 12

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 13

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 14.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 15

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 16

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

चरण 17

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

चरण 18

पदों को सरल करें.

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चरण 18.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

चरण 18.2

$2$ और $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

चरण 18.3

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

चरण 18.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

चरण 18.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 18.5.1

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ को $1$ से विभाजित करें.

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

चरण 18.5.2

${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$x {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$