कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}} d x$

चरण 1

$\frac{x^{3} \ln ({(2 + x^{4})}^{2})}{2 + x^{4}}$ को $\frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{x^{3} (2 \ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{x^{3} (\ln (2 + x^{4}))}{2 + x^{4}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{1} = 2 + x^{4}$ .फिर $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{1} = 2 + x^{4}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$2 + x^{4}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 + x^{4}]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 + x^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

चरण 3.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$0 + 4 x^{3}$

चरण 3.1.5

$0$ और $4 x^{3}$ जोड़ें.

$4 x^{3}$

चरण 3.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

चरण 4.2

$4$ को $u_{1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{4}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

चरण 6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

चरण 7

मान लीजिए $u_{2} = \ln (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , तो $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u_{2} = \ln (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\ln (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

चरण 7.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\ln (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{u_{1}}$

चरण 7.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ को $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 9.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 9.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

चरण 10

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\ln (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln^{2} (u_{1}) + C$

चरण 10.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 + x^{4}$ से बदलें.

$\frac{1}{4} \ln^{2} (2 + x^{4}) + C$