कैलकुलस उदाहरण

${(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{3}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = \frac{\cos (2 x)}{x}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\frac{\cos (2 x)}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{\cos (2 x)}{x}$ से बदलें.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (2 x)$ और $g (x) = x$ है.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.2

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{2})$ है.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

चरण 4.5

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

चरण 4.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 4.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2} \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

चरण 4.6.2

$\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{(x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)) \cdot 3}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

चरण 4.6.3

$3$ को $x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} {(\frac{\cos (2 x)}{x})}^{2}$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

उत्पाद नियम को $\frac{\cos (2 x)}{x}$ पर लागू करें.

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 (x (- 2 \sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

चरण 5.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 (x (\sin (2 x))) + 3 (- \cos (2 x))}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

चरण 5.3.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$

चरण 5.3.3

$\frac{- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)}{x^{2}}$ को $\frac{\cos^{2} (2 x)}{x^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2} x^{2}}$

चरण 5.3.4

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{2 + 2}}$

चरण 5.3.4.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{(- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)) \cos^{2} (2 x)}{x^{4}}$

चरण 5.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\cos^{2} (2 x) (- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

चरण 5.5

$- 6 x \sin (2 x) - 3 \cos (2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$- 6 x \sin (2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) - 3 \cos (2 x))}{x^{4}}$

चरण 5.5.2

$- 3 \cos (2 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x)))}{x^{4}}$

चरण 5.5.3

$3 (- 2 x \sin (2 x)) + 3 (- \cos (2 x))$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\cos^{2} (2 x) (3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x)))}{x^{4}}$

$\frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 3 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

चरण 5.6

$3$ को $\cos^{2} (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot \cos^{2} (2 x) (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

चरण 5.7

$- 2 x \sin (2 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{4}}$

चरण 5.8

$- \cos (2 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{4}}$

चरण 5.9

$- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

चरण 5.10

$- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ को $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3 \cos^{2} (2 x) (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

चरण 5.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$

चरण 5.12

गुणनखंडों को $- \frac{(3 \cos^{2} (2 x)) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{3 \cos^{2} (2 x) (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{4}}$