कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x + 3}{4 x + 4} d x$

चरण 1

$x + 3$ को $4 x + 4$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$4 x$

$4$

$x$

$3$

चरण 1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $4 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			+	$x$	+	$1$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$4$		$x$	+	$3$
			-	$x$	-	$1$
					+	$2$

चरण 1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int \frac{1}{4} + \frac{2}{4 x + 4} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2}{4 x + 4} d x$

चरण 3

$2$ और $4 x + 4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{4 x + 4} d x$

चरण 3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$4 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x) + 4} d x$

चरण 3.2.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x) + 2 \cdot 2} d x$

चरण 3.2.3

$2 (2 x) + 2 (2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 (1)}{2 (2 x + 2)} d x$

चरण 3.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x + 2)} d x$

चरण 3.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

चरण 4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 2 x + 2$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 2 x + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 5.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 6.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{4} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 9

सरल करें.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 2$ से बदलें.

$\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$