कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

चरण 1

$1$ और $- x$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

चरण 2

$x^{2}$ को $- x + 1$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 2.2

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $- x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

चरण 2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

चरण 2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

चरण 2.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

चरण 2.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

चरण 2.7

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $- x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

चरण 2.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

चरण 2.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

चरण 2.10

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

चरण 2.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 6

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 7

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u = - x + 1$ .फिर $d u = - d x$ , तो $- d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 8.1

मान लें $u = - x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 8.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1}$

चरण 8.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

चरण 9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 11

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (\ln (| u |) + C)$

चरण 12

सरल करें.

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $- x + 1$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$