कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{\infty} 4 x e^{- x^{2}} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} 4 x e^{- x^{2}} d x$

चरण 2

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{1}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$e^{- x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

चरण 3.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x^{2}$ से बदलें.

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 3.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

चरण 3.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

चरण 3.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

चरण 3.1.4.2

गुणनखंडों को $- 2 e^{- x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

चरण 3.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = e^{- 1}$

चरण 3.3.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u_{2} = e^{- x^{2}}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

चरण 3.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

चरण 3.6

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$lim_{t \to \infty} 4 \int_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

चरण 6

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$u_{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{e^{- t^{2}}})$

चरण 6.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$e^{- t^{2}}$ पर और $\frac{1}{e}$ पर $- \frac{u_{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} 4 ((- \frac{e^{- t^{2}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

चरण 6.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 6.2.2.2

$\frac{1}{e}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{e \cdot 2})$

चरण 6.2.2.3

$2$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{t \to \infty} 4 (- \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e})$

चरण 7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$4$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$4 lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2 e}$

चरण 7.1.2

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$4 (- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

चरण 7.1.3

$\frac{1}{2}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$4 (- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

चरण 7.2

चूँकि घातांक $- t^{2}$ $- \infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{- t^{2}}$ $0$ की ओर एप्रोच करता है.

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e})$

चरण 7.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\frac{1}{2 e}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$4 (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2 e})$

चरण 7.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$4 (0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2 e})$

चरण 7.3.2.1.2

$0$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$4 (0 + \frac{1}{2 e})$

चरण 7.3.2.2

$0$ और $\frac{1}{2 e}$ जोड़ें.

$4 \frac{1}{2 e}$

चरण 7.3.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2) \frac{1}{2 e}$

चरण 7.3.2.3.2

$2 e$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (2) \frac{1}{2 (e)}$

चरण 7.3.2.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 e}$

चरण 7.3.2.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{e}$

चरण 7.3.2.4

$2$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{e}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2}{e}$

दशमलव रूप:

$0.73575888 \dots$