कैलकुलस उदाहरण

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

चरण 1

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int {(e^{x} + e^{- x})}^{2} d x$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ को $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) d x$

चरण 4.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int e^{x} (e^{x} + e^{- x}) + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} (e^{x} + e^{- x}) d x$

चरण 4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{x + x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.1.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\int e^{2 x} + e^{x} e^{- x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.2

घातांक जोड़कर $e^{x}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{2 x} + e^{x - x} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.2.2

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\int e^{2 x} + e^{0} + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.3

$e^{0}$ को सरल करें.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x} e^{x} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.4

घातांक जोड़कर $e^{- x}$ को $e^{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.4.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{- x + x} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.4.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\int e^{2 x} + 1 + e^{0} + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.5

$e^{0}$ को सरल करें.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x} e^{- x} d x$

चरण 4.3.1.6

घातांक जोड़कर $e^{- x}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.6.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- x - x} d x$

चरण 4.3.1.6.2

$- x$ में से $x$ घटाएं.

$\int e^{2 x} + 1 + 1 + e^{- 2 x} d x$

चरण 4.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x} d x$

चरण 5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

चरण 6

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

चरण 7

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

चरण 9

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{- 2 x} d x$

चरण 11

मान लीजिए $u_{2} = - 2 x$ .फिर $d u_{2} = - 2 d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

मान लें $u_{2} = - 2 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$- 2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 11.1.2

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11.1.3

$- 2 \cdot 1$

चरण 11.1.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 11.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

चरण 12.2

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 13

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 14

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 15

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + 2 x + C - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

चरण 16

सरल करें.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

चरण 17

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

चरण 17.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

चरण 18

उत्तर फलन $f (x) = {(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$