कैलकुलस उदाहरण

$\int \ln (1 + x^{2}) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (1 + x^{2})$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ और $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\ln (1 + x^{2}) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (1 + x^{2}) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

चरण 5

$x^{2}$ को $x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

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चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

चरण 5.2

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + 0 + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

चरण 5.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 9

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 9.1

$x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

चरण 9.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

चरण 10

$x$ के संबंध में $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ का इंटीग्रल $\arctan (x) + C$ है.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

चरण 11

सरल करें.

$\ln (1 + x^{2}) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$