कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 2 e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 4

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int e^{4 x - 6} d x + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 4 x - 6$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 4 x - 6$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$4 x - 6$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x - 6]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 5.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int e^{u} \frac{1}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 6

$e^{u}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$2 \int \frac{e^{u}}{4} d u + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u) + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{4}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 8.2

$2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (1)}{4} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 8.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 8.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

चरण 10

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 \int x^{3} d x$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

$\frac{1}{2} e^{u} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

चरण 12.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

चरण 12.2.2

$- 2$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

चरण 12.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

चरण 12.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

चरण 12.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} e^{u} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

चरण 12.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} e^{u} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x - 6$ से बदलें.

$\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = 2 e^{4 x - 6} - 2 x^{3}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{4 x - 6} - \frac{1}{2} x^{4} + C$