कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{a} 8 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

चरण 1

चूँकि $8$ बटे $x$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = a^{2} - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = a^{2} - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$a^{2} - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a^{2} - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $a^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $a^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 2.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = a^{2} - x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = a^{2} - 0$

चरण 2.3.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = a^{2} + 0$

चरण 2.3.2

$a^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = a^{2}$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = a^{2} - x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

चरण 2.5

$a^{2}$ में से $a^{2}$ घटाएं.

$u_{upper} = 0$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$8 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 3.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$8 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$8 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

चरण 5

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- 8 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

चरण 7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{1}{2}$ और $- 8$ को मिलाएं.

$\frac{- 8}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

चरण 7.1.2

$- 8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$- 8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

चरण 7.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

चरण 7.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

चरण 7.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 4}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

चरण 7.1.2.2.4

$- 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

चरण 7.2

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- 4 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- 4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

चरण 9

$\frac{2}{3}$ और $u^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$- 4 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

चरण 10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$0$ पर और $a^{2}$ पर $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- 4 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- 4 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.5

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$- 4 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.6

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.6.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- 4 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.6.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.6.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 4 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

चरण 10.2.7

घातांक को ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.7.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

चरण 10.2.7.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.7.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

चरण 10.2.7.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

चरण 10.2.8

$0$ में से $\frac{2 a^{3}}{3}$ घटाएं.

$- 4 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

चरण 10.2.9

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$4 \frac{2 a^{3}}{3}$

चरण 10.2.10

$4$ और $\frac{2 a^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4 (2 a^{3})}{3}$

चरण 10.2.11

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{8 a^{3}}{3}$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{8}{3} a^{3}$

चरण 12

$\frac{8}{3}$ और $a^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{8 a^{3}}{3}$