कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt[3]{x} (2 x - x^{2})$

चरण 1

$\sqrt[3]{x}$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ और $g (x) = 2 x - x^{2}$ है.

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{\frac{1}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{\frac{1}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

चरण 7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 9

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x^{\frac{1}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$2$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.2

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{3}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

$x$ ले जाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.2.2

$x$ को $x^{\frac{1}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.2.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.2.5

$3$ और $1$ जोड़ें.

$2 x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{4}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.3

$- 2$ को $x^{\frac{4}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.4

$2$ और $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.5

$x$ और $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ को मिलाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.6

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.7

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{2}{3}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.8

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.8.1

$x^{- \frac{2}{3}}$ ले जाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.8.2

$x^{- \frac{2}{3}}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.8.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.8.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.8.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.8.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.8.5

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.9

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 11.3.10

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 11.3.11

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.11.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 11.3.11.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 11.3.11.3

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 11.3.11.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3}$

चरण 11.3.11.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.11.5.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3}$

चरण 11.3.11.5.2

$6$ में से $2$ घटाएं.

$2 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

चरण 11.3.12

$2 x^{\frac{1}{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

चरण 11.3.13

$2 x^{\frac{1}{3}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

चरण 11.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

चरण 11.3.15

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

चरण 11.3.16

$6 x^{\frac{1}{3}}$ और $2 x^{\frac{1}{3}}$ जोड़ें.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3}$

चरण 11.3.17

$- 2 x^{\frac{4}{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 11.3.18

$- 2 x^{\frac{4}{3}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 11.3.19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 11.3.20

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 6 x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 11.3.21

$- 6 x^{\frac{4}{3}}$ में से $x^{\frac{4}{3}}$ घटाएं.

$\frac{- 7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 11.3.22

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

चरण 11.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$