कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin^{3} (2 x) \cos^{2} (2 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin^{3} (u_{1})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 2.2

$\frac{\sin^{3} (u_{1})}{2}$ और $\cos^{2} (u_{1})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\sin^{2} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sin^{2} (u_{1})$ को $1 - \cos^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = \cos (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = \cos (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\cos (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$- \sin (u_{1})$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int (- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7

$(- 1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int - 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1 {u_{2}}^{2}$ को $- {u_{2}}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 8.2

घातांक जोड़कर ${u_{2}}^{2}$ को ${u_{2}}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

चरण 8.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} \int - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int - {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (- \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ है.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$\frac{1}{3}$ और ${u_{2}}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C)$

चरण 13.1.2

$\frac{1}{5}$ और ${u_{2}}^{5}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C)$

चरण 13.2

सरल करें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

चरण 14

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1}) + \frac{1}{5} \cos^{5} (u_{1})) + C$

चरण 14.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (2 x)) + C$