कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\infty} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

चरण 1

$t$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, समाकलन को एक लिमिट के रूप में लिखें.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{5}{{(x + 4)}^{4}} d x$

चरण 2

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{0}^{t} \frac{1}{{(x + 4)}^{4}} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = x + 4$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

मान लें $u = x + 4$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x + 4$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 3.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 3.2

$x$ के लिए $u = x + 4$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0 + 4$

चरण 3.3

$0$ और $4$ जोड़ें.

$u_{lower} = 4$

चरण 3.4

$x$ के लिए $u = x + 4$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = t + 4$

चरण 3.5

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 4$

चरण 3.6

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} \frac{1}{u^{4}} d u$

चरण 4

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$u^{4}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} {(u^{4})}^{- 1} d u$

चरण 4.2

घातांक को ${(u^{4})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{4 \cdot - 1} d u$

चरण 4.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 4} u^{- 4} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 4}$ का समाकलन $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ है.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} u^{- 3}]_{4}^{t + 4})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$u^{- 3}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{u^{- 3}}{3}]_{4}^{t + 4})$

चरण 6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $u^{- 3}$ को भाजक में ले जाएँ.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 u^{3}}]_{4}^{t + 4})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$t + 4$ पर और $4$ पर $- \frac{1}{3 u^{3}}$ का मान ज्ञात करें.

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 4^{3}})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 64})$

चरण 7.2.2

$3$ को $64$ से गुणा करें.

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192})$

चरण 8

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$5$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + \frac{1}{192}$

चरण 8.1.2

जैसे-जैसे $t$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 {(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

चरण 8.1.3

$\frac{1}{3}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $t$ के संबंध में स्थिर है.

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(t + 4)}^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

चरण 8.2

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{{(t + 4)}^{3}}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{192})$

चरण 8.3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{1}{192}$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $t$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{192})$

चरण 8.3.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{192})$

चरण 8.3.2.1.2

$0$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$5 (0 + \frac{1}{192})$

चरण 8.3.2.2

$0$ और $\frac{1}{192}$ जोड़ें.

$5 (\frac{1}{192})$

चरण 8.3.2.3

$5$ और $\frac{1}{192}$ को मिलाएं.

$\frac{5}{192}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{5}{192}$

दशमलव रूप:

$0.026041\overline{6}$