कैलकुलस उदाहरण

$y = \cos (5 x^{2} - x)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos (5 x^{2} - x))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 5 x^{2} - x$ है.

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चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 x^{2} - x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

चरण 3.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 x^{2} - x$ से बदलें.

$- \sin (5 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - x]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

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चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{2} - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$- \sin (5 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.2.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \sin (5 x^{2} - x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.2.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 3.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1 \cdot 1)$

चरण 3.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \sin (5 x^{2} - x) (10 x - 1)$