कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{3} \frac{y^{3} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

चरण 1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$y^{3} - 2 y^{2} - y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$y^{3}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} - 2 y^{2} - y}{y^{2}} d y$

चरण 1.1.2

$- 2 y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) - y}{y^{2}} d y$

चरण 1.1.3

$- y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{3} \frac{y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

चरण 1.1.4

$y \cdot y^{2} + y (- 2 y)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d y$

चरण 1.1.5

$y (y^{2} - 2 y) + y \cdot - 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y^{2}} d y$

चरण 1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

चरण 1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int_{1}^{3} \frac{y (y^{2} - 2 y - 1)}{y \cdot y} d y$

चरण 1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} d y$

चरण 2

$y^{2} - 2 y - 1$ को $y$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

चरण 2.2

भाज्य $y^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$

चरण 2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

चरण 2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

चरण 2.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

चरण 2.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

चरण 2.7

भाज्य $- 2 y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$

चरण 2.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

चरण 2.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 y + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

चरण 2.10

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	-	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							-	$1$

चरण 2.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int_{1}^{3} y - 2 - \frac{1}{y} d y$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{1}^{3} y d y + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 2 d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{y} d y$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y$

चरण 7

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3} + - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

चरण 8

उत्तर को सरल करें.

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चरण 8.1

$\frac{1}{2} y^{2}]_{1}^{3}$ और $- 2 y]_{1}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y]_{1}^{3} - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

चरण 8.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

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चरण 8.2.1

$3$ पर और $1$ पर $\frac{1}{2} y^{2} - 2 y$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - (\ln (| y |)]_{1}^{3})$

चरण 8.2.2

$3$ पर और $1$ पर $\ln (| y |)$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \cdot 9 - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $9$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.3

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.4

$- 6$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.5

$- 6$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{9 - 6 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.7.1

$- 6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{9 - 12}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.7.2

$9$ में से $12$ घटाएं.

$\frac{- 3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.9

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.10

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot 1) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.11

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.12

$- 2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.13

$- 2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.15

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.15.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2} - \frac{1 - 4}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.15.2

$1$ में से $4$ घटाएं.

$- \frac{3}{2} - \frac{- 3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.16

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{2} - - \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.17

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.18

$\frac{3}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.19

$- \frac{3}{2}$ और $\frac{3}{2}$ जोड़ें.

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.2.3.20

$0$ में से $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ घटाएं.

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

चरण 8.3

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

चरण 8.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $3$ के बीच की दूरी $3$ है.

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

चरण 8.4.2

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$- \ln (\frac{3}{1})$

चरण 8.4.3

$3$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \ln (3)$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \ln (3)$

दशमलव रूप:

$- 1.09861228 \dots$

चरण 10