कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

चरण 1

चूँकि $π$ बटे $x$ अचर है, $π$ को समाकलन से हटा दें.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .फिर $d u = - \frac{4}{5} d x$ , तो $- \frac{5}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\frac{20 - 4 x}{5}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

चरण 2.1.2

$20 - 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

चरण 2.1.2.2

$- 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

चरण 2.1.2.3

$4 (5) + 4 (- x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

चरण 2.1.3

चूंकि $\frac{4}{5}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 (5 - x)}{5}$ का व्युत्पन्न $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ है.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

चरण 2.1.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.1.5

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

चरण 2.1.6

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.1.7

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

चरण 2.1.9

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.9.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

चरण 2.1.9.2

$\frac{4}{5}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

चरण 2.1.9.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.9.3.1

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 4}{5}$

चरण 2.1.9.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4}{5}$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$20 - 4 \cdot 0$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

$20$ को $- 1 (- 20)$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

चरण 2.3.1.2

$- 4 \cdot 0$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

चरण 2.3.1.3

$- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

चरण 2.3.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

चरण 2.3.1.5

$- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

चरण 2.3.1.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.6.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

चरण 2.3.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

चरण 2.3.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

चरण 2.3.1.6.4

$- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

चरण 2.3.2

$- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ को $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

चरण 2.3.3

$0$ को $4$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

चरण 2.3.4

$- 4$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = - - 4$

चरण 2.3.5

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 4$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$20 - 4 \cdot 5$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$20$ को $- 1 (- 20)$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

चरण 2.5.1.2

$- 4 \cdot 5$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

चरण 2.5.1.3

$- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

चरण 2.5.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

चरण 2.5.1.5

$- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

चरण 2.5.1.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.6.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

चरण 2.5.1.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

चरण 2.5.1.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

चरण 2.5.1.6.4

$- 1 (4 - 4)$ को $1$ से विभाजित करें.

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

चरण 2.5.2

$- 1 (4 - 4)$ को $- (4 - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$u_{upper} = - (4 - 4)$

चरण 2.5.3

$4$ में से $4$ घटाएं.

$u_{upper} = - 0$

चरण 2.5.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 0$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

चरण 3.2

$\frac{4}{5}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

चरण 3.3

$\frac{5}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

चरण 3.4

$\frac{5}{4}$ और $u^{2}$ को मिलाएं.

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

चरण 4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

चरण 5

चूँकि $\frac{5}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{5}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$π$ और $\frac{5}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

चरण 6.2

$5$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

चरण 8

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$0$ पर और $4$ पर $\frac{1}{3} u^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

चरण 8.2.2

$\frac{1}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

चरण 8.2.3

$4$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

चरण 8.2.4

$64$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

चरण 8.2.5

$- 64$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

चरण 8.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

चरण 8.2.7

$0$ में से $\frac{64}{3}$ घटाएं.

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

चरण 8.2.8

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

चरण 8.2.9

$\frac{5 π}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

चरण 8.2.10

$\frac{5 π}{4}$ को $\frac{64}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

चरण 8.2.11

$64$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

चरण 8.2.12

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{320 π}{12}$

चरण 8.2.13

$320$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.13.1

$320 π$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (80 π)}{12}$

चरण 8.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.13.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

चरण 8.2.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

चरण 8.2.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{80 π}{3}$

चरण 9

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{80 π}{3}$

दशमलव रूप:

$83.77580409 \dots$

चरण 10