कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{\frac{2}{3}}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.6.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.8

$\frac{2}{3}$ और $x^{- \frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.9

$3$ और $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.10

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.12

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.13

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.13.1

$3 x^{\frac{1}{3}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.2.13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

चरण 1.3.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{\frac{1}{3}}$ के रूप में सेट करें.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{3}}$ से बदलें.

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.5

घातांक को ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.7

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.9.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.9.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.11

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.13

घातांक जोड़कर $x^{- \frac{2}{3}}$ को $x^{- \frac{2}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.13.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.13.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.13.3

$- 2$ में से $2$ घटाएं.

$2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.13.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{4}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.15

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.16

$- 2$ और $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.2.17

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

चरण 2.3.2

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$