कैलकुलस उदाहरण

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

चरण 1

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

चरण 4

$\cos^{2} (x)$ का गुणनखंड करें.

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (x)$ को $1 - \sin^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

चरण 6

$\sin^{2} (x)$ को $1 - \sin^{2} (x)$ से गुणा करें.

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

चरण 7

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 7.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

चरण 8

$u^{2} (1 - u^{2})$ गुणा करें.

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

चरण 9.2

घातांक जोड़कर $u^{2}$ को $u^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$u^{2}$ ले जाएं.

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

चरण 9.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

चरण 9.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

चरण 9.3

$- 1$ को $u^{4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

चरण 9.4

$- 1 u^{4}$ को $- u^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int u^{2} - u^{4} d u$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

चरण 12

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

चरण 13

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

चरण 14

सरल करें.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

चरण 16

उत्तर फलन $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$