कैलकुलस उदाहरण

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = 1 + a t$ और $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ है.

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 2}$ और $g (t) = c t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $c t$ के रूप में सेट करें.

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $c t$ से बदलें.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

चरण 3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $c$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $c t$ का व्युत्पन्न $c \frac{d}{d t} [t]$ है.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

चरण 3.3

$c$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + a t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ है.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

चरण 3.5

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

चरण 3.6

$0$ और $\frac{d}{d t} [a t]$ जोड़ें.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

चरण 3.7

चूंकि $a$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $a t$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d t} [t]$ है.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.8

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

चरण 3.9

${(c t)}^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

उत्पाद नियम को $c t$ पर लागू करें.

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

चरण 4.2

उत्पाद नियम को $c t$ पर लागू करें.

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$c$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.3

$1$ में से $3$ घटाएं.

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.5

$c$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.7

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.8

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.10

$1$ में से $3$ घटाएं.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

चरण 4.4.11

$a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ और $a c^{- 2} t^{- 2}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.11.1

$a$ और $- 2$ को पुन: क्रमित करें.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

चरण 4.4.11.2

$- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ और $a c^{- 2} t^{- 2}$ जोड़ें.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

चरण 4.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

चरण 4.5.2

$- 2$ और $\frac{1}{c^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

चरण 4.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

चरण 4.5.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

चरण 4.5.5

$\frac{1}{t^{3}}$ को $\frac{2}{c^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

चरण 4.5.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

चरण 4.5.7

$\frac{1}{c^{2}}$ और $a$ को मिलाएं.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

चरण 4.5.8

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

चरण 4.5.9

$\frac{1}{t^{2}}$ को $\frac{a}{c^{2}}$ से गुणा करें.

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$