कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$

चरण 1

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 2

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2} d x$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 5 e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

चरण 4

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 2 x + 3$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 2 x + 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 5.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

चरण 6

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 4 x^{2} d x$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और $5$ को मिलाएं.

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int 4 x^{2} d x$

चरण 9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int 4 x^{2} d x$

चरण 10

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 \int x^{2} d x$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

$\frac{5}{2} e^{u} + 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

चरण 12.2

$4$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{5}{2} e^{u} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

चरण 14

उत्तर फलन $f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$