कैलकुलस उदाहरण

${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

${(x^{2} + 1)}^{2^{x}}$ को $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})}]$

चरण 1.2

$2^{x}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x^{2} + 1)}^{2^{x}})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2^{x} \ln (x^{2} + 1)$ से बदलें.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x^{2} + 1)]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 2^{x}$ और $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ है.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{x} (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ और $2^{x}$ को मिलाएं.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 5.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 5.5

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{x}}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 5.5.2

$2$ और $\frac{2^{x}}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 6

$2$ को $2^{x}$ से गुणा करें.

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चरण 6.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1} \cdot 2^{x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 6.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 7

$\frac{2^{1 + x}}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

चरण 8

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $2$ है.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)))$

चरण 9

$\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2))$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2^{1 + x} x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1})$

चरण 10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

चरण 11

$e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)}$ और $\frac{2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (x^{2} + 1) (2^{x} \ln (2)) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 12.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \cdot 1)}{x^{2} + 1}$

चरण 12.1.1.3

$\ln (2)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x + \ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

चरण 12.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (2) \ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

चरण 12.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} \ln (2))}{x^{2} + 1}$

चरण 12.1.3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})}{x^{2} + 1}$

चरण 12.1.4

गुणनखंडों को $e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (2^{1 + x} x) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x} x^{2}) + \ln (2) e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) \cdot 2^{x})$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{1 + x} + x^{2} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \cdot 2^{x} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

चरण 12.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2^{1 + x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (2) \ln (x^{2} + 1) + 2^{x} e^{2^{x} \ln (x^{2} + 1)} \ln (2) \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$