कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x^{2} \cdot \sqrt{x^{3} + 2} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{3} + 2$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = x^{3} + 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{3} + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 1.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 x^{2} + 0$

चरण 1.1.5

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = x^{3} + 2$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{3} + 2$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 2$

चरण 1.3.2

$0$ और $2$ जोड़ें.

$u_{lower} = 2$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = x^{3} + 2$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1^{3} + 2$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 2$

चरण 1.5.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$u_{upper} = 3$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 3$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{2}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

चरण 2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} \sqrt{u} d u$

चरण 4

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{3} \int_{2}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{3}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3$ पर और $2$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\frac{2}{3}$ और $3^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $3^{1}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3

घातांक जोड़कर $3^{\frac{3}{2}}$ को $3^{- 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$3^{- 1}$ ले जाएं.

$\frac{1}{3} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.3.6.2

$- 2$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}})$

चरण 6.2.4

$2^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

चरण 6.2.5

घातांक जोड़कर $2^{\frac{3}{2}}$ को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1

$2^{\frac{3}{2}}$ को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.5.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{1}}{3})$

चरण 6.2.5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + 1}}{3})$

चरण 6.2.5.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3})$

चरण 6.2.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{3 + 2}{2}}}{3})$

चरण 6.2.5.4

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

चरण 7.2

$\frac{1}{3} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

चरण 7.2.2

$\frac{2}{3}$ और $3^{\frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

चरण 7.3

$\frac{1}{3} (- \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\frac{1}{3}$ को $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

चरण 7.3.2

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

चरण 7.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $3^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

चरण 7.4.2

घातांक जोड़कर $3$ को $3^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

$3$ को $3^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1.1

$3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

चरण 7.4.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{3^{1 - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

चरण 7.4.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2}{3^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

चरण 7.4.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2}{3^{\frac{2 - 1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

चरण 7.4.2.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

दशमलव रूप:

$0.52616117 \dots$

चरण 9