कैलकुलस उदाहरण

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{3 + \sin (x)} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 3 + \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 3 + \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 + \sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 + \sin (x)]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 1.1.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$0 + \cos (x)$

चरण 1.1.4

$0$ और $\cos (x)$ जोड़ें.

$\cos (x)$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 3 + \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 3 + \sin (\frac{π}{6})$

चरण 1.3

सरल करें.

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चरण 1.3.1

$\sin (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$u_{lower} = 3 + \frac{1}{2}$

चरण 1.3.2

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 1.3.3

$3$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 1.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

चरण 1.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$u_{lower} = \frac{6 + 1}{2}$

चरण 1.3.5.2

$6$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 3 + \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 3 + \sin (\frac{π}{2})$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 3 + 1$

चरण 1.5.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 4$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = \frac{7}{2}$

$u_{upper} = 4$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{\frac{7}{2}}^{4} \frac{1}{u} d u$

चरण 2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |)]_{\frac{7}{2}}^{4}$

चरण 3

$4$ पर और $\frac{7}{2}$ पर $\ln (| u |)$ का मान ज्ञात करें.

$\ln (| 4 |) - \ln (| \frac{7}{2} |)$

चरण 4

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 4 |}{| \frac{7}{2} |})$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $4$ के बीच की दूरी $4$ है.

$\ln (\frac{4}{| \frac{7}{2} |})$

चरण 5.2

$\frac{7}{2}$ लगभग $3.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\ln (\frac{4}{\frac{7}{2}})$

चरण 5.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\ln (4 (\frac{2}{7}))$

चरण 5.4

$4 (\frac{2}{7})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$4$ और $\frac{2}{7}$ को मिलाएं.

$\ln (\frac{4 \cdot 2}{7})$

चरण 5.4.2

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{8}{7})$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\ln (\frac{8}{7})$

दशमलव रूप:

$0.13353139 \dots$