कैलकुलस उदाहरण

$x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{4}{3}$ है.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2.3

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2.5.2

$4$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

चरण 1.3.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 1.3.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

चरण 1.3.6.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 1.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 1.3.8

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.3.9

$4$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.3.10

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 1.4

$\frac{4}{3}$ और $x^{\frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $\frac{4}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.2

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.4

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.6.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.8

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.9

$\frac{4}{3}$ को $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.10

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $\frac{4}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ है.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

चरण 2.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 1}$ और $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{\frac{2}{3}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

चरण 2.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

चरण 2.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{2}{3}}$ से बदलें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{2}{3}$ है.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 2.3.5

घातांक को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 2.3.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 2.3.5.2.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 2.3.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

चरण 2.3.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

चरण 2.3.7

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

चरण 2.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

चरण 2.3.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.9.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

चरण 2.3.9.2

$2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

चरण 2.3.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

चरण 2.3.11

$\frac{2}{3}$ और $x^{- \frac{1}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

चरण 2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ और $x^{- \frac{4}{3}}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

चरण 2.3.13

घातांक जोड़कर $x^{- \frac{1}{3}}$ को $x^{- \frac{4}{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ ले जाएं.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

चरण 2.3.13.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

चरण 2.3.13.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

चरण 2.3.13.4

$- 4$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

चरण 2.3.13.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

चरण 2.3.14

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{5}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

चरण 2.3.15

$\frac{4}{3}$ को $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ से गुणा करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

चरण 2.3.16

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

चरण 2.3.17

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$