कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{8 x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{8 x}]$ को $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$8 x$ को $2^{2} \cdot (2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (2) x}]$

चरण 1.1.1.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot 2 x}]$

चरण 1.1.1.3

कोष्ठक लगाएं.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} \cdot (2 x)}]$

चरण 1.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2 x}]$

चरण 1.2

$\sqrt{2 x}$ को ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.3

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.4

उत्पाद नियम को $2 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 1.5

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.7.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.7.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.8

चूंकि $2^{\frac{3}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ है.

$2^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 1.10

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 1.11

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.12

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 1.13

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 1.13.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 1.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2^{\frac{3}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 1.15

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$2^{\frac{3}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.16

$2^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 1.17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.17.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.17.2

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $2^{1}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{- 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.18

घातांक जोड़कर $2^{\frac{3}{2}}$ को $2^{- 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.18.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.18.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.18.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.18.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.18.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.18.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2^{\frac{3 - 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.18.5.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $2^{\frac{1}{2}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

चरण 2.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

चरण 2.2.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

चरण 2.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

चरण 2.7.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

चरण 2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

चरण 2.9

$x^{- \frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

चरण 2.10

$2^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

चरण 2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $2^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 2.11.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.12

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

$2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.12.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.12.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.12.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.12.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$f'' (x) = - \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

चरण 3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$ है.

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$